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1.1.3. Representação de números racionais através de dízimas finitas ou infinitas periódicas utilizando o algoritmo da divisão; período e comprimento do período de uma dízima

 

Exemplo 1

Considerando os números racionais

 

indica qual deles admite uma representação em dízima finita e representa-os nessa forma ou na forma de dízima

infinita periódica.

Resolução

 

 

 

 

 

 

 

a) O primeiro número racional

 

não pode ser representado por uma dízima finita uma vez que o denominador da fração irredutível que o representa tem um divisor primo distinto de 2 e de 5 (o divisor 7).

O segundo número racional é representado por uma fração irredutível que tem no denominador apenas potências de 2 e de 5, pelo que pode ser representado por uma dízima finita.

  

b)

 

Obteve-se o primeiro resto parcial repetido. A dízima é infinita periódica cujo período mínimo é “457128” . O seu comprimento é 6

 

Em relação ao outro número racional 

 

a dízima finita é igual a 0,49.

 

Desc.1.3 – Utilização correta dos termos: “dízima finita”, “dízima infinita periódica”, “período de uma dízima” e “comprimento de uma dízima”.


Desc.1.4 – não será demonstrado, mas dever-se-á saber que o algoritmo da divisão nunca conduz a dízimas infinitas de período igual a “9”.





Exemplo 2

Fazer um estudo dos números racionais a seguir indicados representando-os por dízimas:

 

 

Proposta de trabalho

 

  

Conclusão

Estes números racionais podem ser separados em dois grupos:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O que se pode concluir acerca destas igualdades:

- toda a fração irredutível, que tenha no seu denominador só potências de bases 2 ou de 5 ou potências dos seus produtos, é dízima finita;

- sempre que no denominador de uma fração irredutível, haja um divisor primo ou potências dele diferentes de 2 e de 5, a dízima é infinita periódica;

-há dízimas como “1/6” que têm um ante período (sequência de algarismos que começa logo a seguir à vírgula decimal e que termina antes do início do período); neste exemplo o ante período é 1;

- “por convecção cada fração corresponde a uma única dízima” (http://gazeta.spm.pt/getArtigo?gid=179;)

- o número racional “1/7” tem um período de dimensão 6 por ter seis algarismos, que é menor que o denominador da fração.

 

  

 

 




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